Question

Cho đường tròn tâm O bán kính OA và BC vuông góc OA tại trung điểm M của OA

a)chứng minh tứ giác CBAC là hình thoi

b) tiếp tuyến tại B của đường tròn tâm O cắt OA tại D. Chứng minh DC là tiếp tuyến đường tròn tâm O

c ) CM O,B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn.

d )CM A là trung điểm của OD

Answer 1

Hình vẽ:

a, Chứng minh OBAC là hình thoi. (Ghi đúng đề)

Vì \(BC\perp OA\Rightarrow MB=MC,\) mà \(OM=OA\)

\(\Rightarrow OBAC\) là hình bình hành

Lại có \(OB=OC=OA\Rightarrow OBAC\) là hình thoi.

b, Vì \(\left\{{}\begin{matrix}OB=OC\\AB=AC\end{matrix}\right.\Rightarrow OA\) là đường trung trực của \(BC\Rightarrow BD=CD\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}BD=CD\\OB=OC\\OD\text{ chung}\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta OBD=\Delta OCD\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCD}=\text{​​}\text{​​}\widehat{OBD}=90^o\Rightarrow DC\) là tiếp tuyến.

c, \(\widehat{OBD}=90^o\Rightarrow O,B,D\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\)

\(\widehat{OCD}=90^o\Rightarrow O,C,D\) thuộc đường tròn đường kính \(OD\)

\(\Rightarrow O,B,C,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OD\).

d, Vì \(OBAC\) là hình thoi \(\Rightarrow OA=OB=BA\Rightarrow\Delta OAB\) đều

\(\Rightarrow\widehat{OBA}=\widehat{BOA}=60^o\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ADB}\Rightarrow AB=AD\)

\(\Rightarrow OA=AB=AD\left(đpcm\right)\).