Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d cố định, d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (A,B là các tiếp điểm). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d (H thuộc d). Nối A với B, AB cắt OH tại K và cắt OM taị I. Gọi E là tâm đường tròn nội tiếp Δ MAB. Giả sử R = 6 cm và góc AMB = 60 độ. Tính bán kính đường tròn nội tiếp Δ MAB
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc AMB và MA=MB
MO là phân giác của góc AMB
=>\(\widehat{AMO}=\dfrac{\widehat{AMB}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)
Xét ΔOAM vuông tại A có \(tanAMO=\dfrac{OA}{AM}\)
=>\(\dfrac{6}{AM}=tan30=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
=>\(AM=6\cdot\dfrac{3}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔMAB có MA=MB và \(\widehat{AMB}=60^0\)
nên ΔMAB đều
=>\(\widehat{MBA}=60^0\)
Gọi bán kính đường tròn nội tiếp ΔMAB là d
Diện tích tam giác MBA là:
\(S_{MBA}=\dfrac{1}{2}\cdot MA\cdot MB\cdot sinAMB\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}\cdot sin60=27\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)
Nửa chu vi tam giác MBA là:
\(p=\dfrac{6\sqrt{3}+6\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔMBA có \(S_{MBA}=p\cdot d\)
=>\(d=\dfrac{27\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=9\left(cm\right)\)