cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Gọi A là một điểm bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) . Kẻ đường cao AD , BE của tam giác ABC .
1) chứng minh : tứ giác AEDB nội tiếp .
2) Kẻ đường kính AK của đường tròn tâm O . Gọi F là hình chiếu của B trên AK . chứng minh : AB.AC = AK.AD và DF vuông góc AC .
3) Khi A di dộng trên cung lớn BC thì đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định
1: Xét tứ giác AEDB có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
nên AEDB là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
Xét (O) có
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
\(\widehat{AKC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)
Xét ΔABD vuông tại D và ΔAKC vuông tại C có
\(\widehat{ABD}=\widehat{AKC}\)
Do đó: ΔABD~ΔAKC
=>\(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}\)
=>\(AB\cdot AC=AD\cdot AK\)
Xét tứ giác ABDF có \(\widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90^0\)
nên ABDF là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{DFK}=\widehat{ABD}\left(=180^0-\widehat{AFD}\right)\)
=>\(\widehat{DFK}=\widehat{CKA}\)
=>DF//CK
mà CK\(\perp\)CA
nên DF\(\perp\)AC