Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (C khác A và B) . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn,tiếp tuyến này cắt tia BC ở D . Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E.
a) Chứng minh 4 điểm A,E,C,O cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh BC.BD`=4R^2` và OE song song với BD
c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC tại F . Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
a: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD tại E
=>EC là tiếp tuyến tại C của đường tròn
=>EC\(\perp\)OC tại C
Xét tứ giác EAOC có
\(\widehat{EAO}+\widehat{ECO}=90^0+90^0=180^0\)
nên EAOC là tứ giác nội tiếp
=>E,A,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC\(\perp\)CB tại C
=>AC\(\perp\)DB tại C
Xét ΔDAB vuông tại A có AC là đường cao
nên \(BC\cdot BD=BA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Xét (O) có
EA,EC là tiếp tuyến
Do đó: EA=EC
=>E nằm trên đường trung trực của AC(1)
OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OE là đường trung trực của AC
=>OE\(\perp\)AC
Ta có: OE\(\perp\)AC
AC\(\perp\)BD
Do đó: OE//BD
c: ΔOBC cân tại O
mà OF là đường cao
nên OF là phân giác của góc BOC
OC\(\perp\)CE tại C
mà C\(\in\)EF
nên OC\(\perp\)CF tại C
Xét ΔOCF và ΔOBF có
OC=OB
\(\widehat{COF}=\widehat{BOF}\)
OF chung
Do đó: ΔOCF=ΔOBF
=>\(\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^0\)
=>BF là tiếp tuyến của (O;R)