Question

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ các tiếp tuyến MN và MH ( N, H là các tiếp điểm), I là giao điểm của MO và NH

a, C/m: NH ⊥ OM

b, Kẻ đường kính ND, MD cắt (O) tại K.

C/m: MI.MO = MK.MD

 

Answer 1

Lời giải:

a) Ta thấy:$MN=MH$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$ON=OH=R$

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $NH$

$\Rightarrow OM\perp NH$ (đpcm)

b) 

Vì $MH$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MH\perp OH$

$\Rightarrow \triangle MOH$ vuông tại $H$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác $MHO$ có đường cao $HI$ ta có:

$MI.MO=MH^2(1)$

Mặt khác, xét tam giác $MKH$ và $MHD$ có:

$\widehat{M}$ chung 

$\widehat{MHK}=\widehat{MDH}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MKH\sim \triangle MHD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MK}{MH}=\frac{MH}{MD}\Rightarrow MK.MD=MH^2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow MI.MO=MK.MD$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: