Gọi giao điểm của OS và DE là K, giao điểm của AO và BC là H
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
Xét ΔOHS vuông tại H và ΔOKA vuông tại K có
\(\widehat{HOS}\) chung
Do đó: ΔOHS~ΔOKA
=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{OS}{OA}\)
=>\(OK\cdot OS=OH\cdot OA=R^2\)
=>\(OK\cdot OS=OE^2\)
=>\(\dfrac{OK}{OE}=\dfrac{OE}{OS}\)
Xét ΔOKE và ΔOES có
\(\dfrac{OK}{OE}=\dfrac{OE}{OS}\)
\(\widehat{KOE}\) chung
Do đó: ΔOKE~ΔOES
=>\(\widehat{OKE}=\widehat{OES}\)
=>\(\widehat{OES}=90^0\)
=>SE là tiếp tuyến của (O)
ΔODE cân tại O
mà OS là đường cao
nên OS là phân giác của góc DOE
Xét ΔOES và ΔODS có
OS chung
\(\widehat{EOS}=\widehat{DOS}\)
OE=OD
Do đó: ΔOES=ΔODS
=>\(\widehat{OES}=\widehat{ODS}\)
=>\(\widehat{ODS}=90^0\)
=>SD là tiếp tuyến của (O)