Cho đường tròn (O), đường kính MN. Trên đường tròn (O) lấy điểm I. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và I cắt nhau ở K.
a) Chứng minh bốn điểm M, K, I, O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh KO là đường trung trực của đoạn thẳng MI. Từ đó suy ra KO // NI.
c) Kẻ IH ⊥ MN (H thuộc MN). Chứng minh KN đi qua trung điểm của đoạn thẳng IH.
a: Xét tứ giác KMOI có \(\widehat{KMO}+\widehat{KIO}=90^0+90^0=180^0\)
nên KMOI là tứ giác nội tiếp
=>K,M,O,I cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
KM,KI là các tiếp tuyến
Do đó: KM=KI
=>K nằm trên đường trung trực của MI(1)
Ta có: OM=OI
=>O nằm trên đường trung trực của MI(2)
Từ (1),(2) suy ra OK là đường trung trực của MI
=>OK\(\perp\)MI
Xét (O) có
ΔIMN nội tiếp
MN là đường kính
Do đó: ΔIMN vuông tại I
=>IM\(\perp\)IN
mà OK\(\perp\)MI
nên OK//IN
c: Gọi A là giao điểm của IH và NK, B là giao điểm của NI và KM
ΔNIM vuông tại I
=>MI\(\perp\)NB tại I
=>ΔMIB vuông tại I
Ta có: \(\widehat{IMK}+\widehat{IBK}=90^0\)(ΔMIB vuông tại I)
\(\widehat{KIM}+\widehat{KIB}=\widehat{MIB}=90^0\)
mà \(\widehat{KMI}=\widehat{KIM}\)(ΔKMI cân tại K)
nên \(\widehat{KBI}=\widehat{KIB}\)
=>KB=KI
mà KM=KI
nên KB=KM(3)
Ta có: IH\(\perp\)MN
BM\(\perp\)MN
Do đó: IH//BM
Xét ΔNKM có AH//MK
nên \(\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{NA}{NK}\left(4\right)\)
Xét ΔNKB có AI//BK
nên \(\dfrac{AI}{BK}=\dfrac{NA}{NK}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra AH=AI
=>A là trung điểm của HI
=>NK đi qua trung điểm của IH