Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CHAB (H € AB), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q và cắt CH tại N. Gọi I là giao điểm của Mo và Ac Chứng minh rằng: a) Tứ giác AIQM nội tiếp trong một đường tròn b) OM// BC c) IN // AB
a.
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(MA=MC\)
Lại có \(OA=OC=R\)
\(\Rightarrow OM\) là trung trực của AC
\(\Rightarrow OM\perp AC\) tại I hay \(\widehat{AIM}=90^0\)
Q tuộc đường tròn nên \(\widehat{AQB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AQB}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AQM}=90^0\)
\(\Rightarrow\)I và Q cùng nhìn AM dưới 1 góc vuông nên AIQM nội tiếp
b.
\(\widehat{ACB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\)
\(\Rightarrow AC\perp BC\)
Theo cmt có \(OM\perp AC\)
\(\Rightarrow OM||BC\) (cùng vuông góc AC)
c.
Nối BC kéo dài cắt AM kéo dài tại D
Theo cmt có \(OM||BC\), mà O là trung điểm AB
\(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác ABD
\(\Rightarrow M\) là trung điểm BD hay \(MA=MD\)
Do \(CH||AD\) (cùng vuông góc AB), áp dụng định lý Talet trong tam giác BDM:
\(\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{CN}{MD}\)
Áp dụng định lý talet trong tam giác BAM:
\(\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{NH}{MA}\)
\(\Rightarrow\dfrac{CN}{MD}=\dfrac{NH}{MA}\Rightarrow CN=NH\) (do \(MD=MA\) theo cmt)
\(\Rightarrow N\) là trung điểm CH
Lại có OM là trung trực AC (theo cm câu a) nên I là trung điểm AC
\(\Rightarrow IN\) là đường trung bình tam giác ACH
\(\Rightarrow IN||AH\) hay \(IN||AB\)
CH sao với AB em nhỉ? Vuông góc đúng ko?
