cho đường tròn O đường kính AB = 2R . kẻ dây DE vuông góc với AB tại H ( H nằm giữa A và B) . Từ E kẻ EK vuông góc với BD ( K thuộc BD). K cắt đường kính AB tại C
1. Chứng minh BKHE là tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh góc HKC = góc HBK và HK^2 = HC. HB
3. Qua K kẻ dây PQ vuông góc với DE ( P thuộc cung nhỏ AD; Q thuộc cung nhỏ BD). Chứng minh rằng DQ2 + EP2 = 4R2
1: Xét tứ giác BKHE có \(\widehat{BKE}=\widehat{BHE}=90^0\)
nên BKHE là tứ giác nội tiếp
2: ΔODE cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của DE
Xét ΔBDE có
BH là đường cao
BH là đường trung tuyến
Do đó: ΔBDE cân tại B
=>BH là phân giác của góc DBE
=>\(\widehat{HBE}=\widehat{HBD}\)
mà \(\widehat{HBE}=\widehat{HKE}\)
nên \(\widehat{HKC}=\widehat{HBK}\)
Xét ΔHKC và ΔHBK có
\(\widehat{HKC}=\widehat{HBK}\)
\(\widehat{KHC}\) chung
Do đó: ΔHKC~ΔHBK
=>\(\dfrac{HK}{HB}=\dfrac{HC}{HK}\)
=>\(HK^2=HB\cdot HC\)