Question

Cho đường cong (C):y=x4−4x2+2 và điểm A(0;a). Tìm tập hợp tất cả các giá tri của a để qua A kẻ được 4 tiếp tuyến tới (C)

Answer 1

Đường thẳng d qua A có hệ số góc k có pt: \(y=kx+a\)

Để d là tiếp tuyến của (C)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^4-4x^2+2=kx+a\\k=4x^3-8x\end{matrix}\right.\) có nghiệm

\(\Rightarrow x^4-4x^2+2=x\left(4x^3-8x\right)+a\) có 4 nghiệm

\(\Leftrightarrow-3x^4+4x^2+2=a\) (1) có 4 nghiệm

Xét hàm \(f\left(x\right)=-3x^4+4x^2+2\)

\(f'\left(x\right)=-12x^3+8x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\\x=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{matrix}\right.\)

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta thấy (1) có 4 nghiệm khi: \(2< a< \dfrac{10}{3}\)