cho điểm a nằm ngoài đường tròn o bán kính r sao cho O>2R vẽ tiếp tuyến AB AC của O. Gọi I là trung điểm của AB, tia IC cắt (O) tại D. Tia AD cắt (O) tại E.
a) chúng minh ABOC nội tiếp và HA.HO=BC^2/4
b) chứng minh IB^2=IC.ID và AB//CE
c) chứng minh 4 điểm I, B, H, D cùng thuộc 1 đường tròn và DB là phân giác của góc IDE.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(HO\cdot HA=HB^2=\left(\dfrac{1}{2}BC\right)^2=\dfrac{BC^2}{4}\)
b: Xét (O) có
\(\widehat{IBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BI và dây cung BD
\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\widehat{IBD}=\widehat{BCD}\)
Xét ΔIBD và ΔICB có
\(\widehat{IBD}=\widehat{ICB}\)
\(\widehat{BID}\) chung
Do đó: ΔIBD~ΔICB
=>\(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{ID}{IB}\)
=>\(IB^2=ID\cdot IC\)
=>\(IA^2=ID\cdot IC\)
=>\(\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IC}{IA}\)
Xét ΔIAC và ΔIDA có
\(\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IC}{IA}\)
\(\widehat{AIC}\) chung
Do đó: ΔIAC~ΔIDA
=>\(\widehat{ICA}=\widehat{IAD}\)
Xét (O) có
\(\widehat{DCA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CD
\(\widehat{DEC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC
Do đó: \(\widehat{DCA}=\widehat{DEC}\)
=>\(\widehat{IAD}=\widehat{DEC}\)
=>AB//CE