Question

Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A có đường cao AH. Chứng minh \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

Answer 1

Xét ΔABC vuông tại  A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{AC}{HA}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHAC

=>\(\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{BC}{AC}\)

=>\(AC^2=BC\cdot HC\)

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

Do đó: ΔHAB~ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

\(\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{BH\cdot BC}+\dfrac{1}{CH\cdot BC}\)

\(=\dfrac{1}{BC}\left(\dfrac{1}{BH}+\dfrac{1}{CH}\right)\)

\(=\dfrac{1}{BC}\cdot\dfrac{BH+CH}{BH\cdot CH}=\dfrac{1}{AH^2}\)