Question

Cho \(\Delta\) ABC vuông cân tại A. Gọi H là trung điểm cạnh BC, và M là điểm nằm giữa B và H. Vẽ MD \(\perp\)AB tại D, và ME \(\perp\)AC tại E. Chứng minh rằng :

1, AH \(\perp\) BC

2, AD=CE, BD=AE

3, \(MB^2\) + \(MC^2\) = \(2MA^2\)

Answer 1

Lời giải:

1.

Xét tam giác $ABH$ và $ACH$ có:
$AH$ chung

$AB=AC$ (do $ABC$ cân tại $A$)

$BH=CH$ (do $H$ là trung điểm của $BC$)

$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACH$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=\widehat{BHC}=180^0$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$

$\Rightarrow AH\perp BC$

2. Dễ thấy $ME\parallel DA, MD\parallel AE$

Xét tam giác $ADM$ và $MEA$ có:

$\widehat{DAM}=\widehat{EMA}$ (so le trong)

$\widehat{DMA}=\widehat{EAM}$ (so le trong)

$MA$ chung

$\Rightarrow \triangle ADM=\triangle MEA$ (g.c.g)

$\Rightarrow DM=EA(1), AD=ME$

Do $ABC$ là tam giác vuông cân nên $\widehat{B}=45^0$

Tam giác $BDM$ vuông tại $D$ có góc $\widehat{B}=45^0$ nên là tam giác vuông cân. $\Rightarrow BD=DM(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow BD=AE$

Mà $AB=AC\Rightarrow AB-BD=AC-AE\Leftrightarrow AD=EC$ (đpcm)

3.

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:

$MB^2+MC^2=(BD^2+DM^2)+(ME^2+EC^2)$

$=(DM^2+DM^2)+(AD^2+AD^2)=2(DM^2+AD^2)=2AM^2$ (đpcm)

Answer 2

Hình vẽ: