Question

Cho \(\Delta ABC\) đều, vẽ điểm M nằm trong tam giác sao cho MA > MB và MC. Chứng min MB + MC > MA

Answer 1

Xét \(\Delta MBC\)ta có:

MB+MC>BC (theo bất đẳng thức tam giác)

Mà tam giác ABC đều nên AB=BC

suy ra MB+MC>AB

Ta lại có AB>MA nên MB+MC>MA

Answer 2

Kẻ MD // BC, MF // AC, ME // AB \(\left(D\in AB,F\in BC,E\in AC\right)\)

Ta có:

\(\widehat{DBF}=\widehat{ACB}\) ( \(\Delta ABC\) đều)

\(\widehat{MFB}=\widehat{ACB}\) ( 2 góc đồng vị và MF // AC)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{DBF}=\widehat{MFB}\)

Mà MD // BF

Nên tứ giác DMFB là hình thang cân

\(\Rightarrow\)\(DF=MB\)    \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(EF=MC\)    \(\left(2\right)\)

\(DE=MA\)    \(\left(3\right)\)

Xét \(\Delta DEF\) theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

\(DF+EF>DE\)    \(\left(4\right)\)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 

\(MB+MC>MA\left(đpcm\right)\)