Bạn tự vẽ hình nhé
a) Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH: \(AH^2=BH.BC=4.9=36\Rightarrow AH=\sqrt{36}=6\left(đvđd\right)\)
D, E là hình chiếu của H trên AB và AC \(\Rightarrow HD\perp AB,HE\perp AC\Rightarrow\widehat{HDA}=90^o,\widehat{HEA}=90^o\). \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{DAE}=90^o\). Tứ giác ADHE có \(\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=\widehat{DAE}=90^o\) nên là hình chữ nhật \(\Rightarrow DE=AH=9\left(đvđd\right)\)
b) \(AH\perp BC\) nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\)
Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta ABH\) vuông tại H có đường cao HD: \(AD.AB=AH^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta ACH\) vuông tại H có đường cao HE: \(AE.AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1), (2) => AD.AB=AE.AC (đpcm)
c) \(AD.AB=AE.AC\Rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có \(\widehat{A}\) chung, \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\) nên \(\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)
d) \(\Delta ADE\sim\Delta ACB\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\). O là trung điểm BC nên AO là trung tuyến của \(\Delta ABC\) vuông tại A \(\Rightarrow AO=\dfrac{BC}{2}=OB=OC\). AO = OC nên \(\Delta AOC\) cân tại O\(\Rightarrow\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\widehat{ACB}\)
\(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AED}=90^o\Rightarrow\widehat{GAE}+\widehat{AEG}=90^o\). \(\Delta AGE\) có \(\widehat{AGE}=180^o-\left(\widehat{GAE}+\widehat{AEG}\right)=180^o-90^o=90^o\Rightarrow AO\perp DE\)
