Lời giải:
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}$ là 2 vecto đối nhau.
$ABC$ là tam giác đều nên trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao.
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{BM}\Rightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$
Khi đó ta có:
$(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})^2=(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})^2$
$=(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})^2$
$=MA^2+4MB^2+4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}$
$=MA^2+4MB^2$
$=AB^2+BM^2+4BM^2$
$=AB^2+5BM^2=AB^2+5(\frac{BC}{2})^2$
$=a^2+\frac{5}{4}a^2=\frac{9}{4}a^2$
$\Rightarrow |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}a$