\(\overrightarrow{AC}=\left(2;-2\right)=2\left(1;-1\right)\) ; \(\overrightarrow{BC}=\left(6;2\right)=2\left(3;1\right)\) ; \(\overrightarrow{BA}=\left(4;4\right)=4\left(1;1\right)\)
Phương trình đường cao AE vuông góc BC và đi qua A:
\(3\left(x-0\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x+y-3=0\)
Phương trình đường cao BF qua B và vuông góc AC:
\(1\left(x+4\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x-y+3=0\)
H là giao điểm AE và CF nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y-3=0\\x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(0;3\right)\)
b/ \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}=2.4-2.4=0\Rightarrow AC\perp AB\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A
\(\Rightarrow\) tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm BC \(\Rightarrow O\left(-1;0\right)\)
c/ M là trung điểm AC \(\Rightarrow M\left(1;2\right)\) ; N là trung điểm AB \(\Rightarrow N\left(-2;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MB}=\left(5;3\right)\Rightarrow\) pt đường thẳng BM:
\(3\left(x-1\right)-5\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow3x-5y+7=0\)
\(\overrightarrow{NC}=\left(4;0\right)=4\left(1;0\right)\) \(\Rightarrow\) pt đường thẳng CN:
\(0\left(x+2\right)+1\left(y-1\right)=0\Rightarrow y-1=0\)
G là giao điểm BM và CN nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}3x-5y+7=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(-\frac{2}{3};1\right)\)