Question

Cho các số x, y, z > 0 và xy + yz + zx = 1. Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\dfrac{x^4}{x^2+y^2}+\dfrac{y^4}{y^2+z^2}+\dfrac{z^4}{z^2+x^2}\)

Answer 1

Ta có \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)