gọi m là 1 giá trị của biểu thức P, Khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x,y
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=36\left(1\right)\\x-y+2004=m\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ ( 2 ) suy ra y = x + 2004 - m
Thế vào ( 2 ),ta được : \(16x^2+9\left(x+2004-m\right)^2=144.36=5184\)
\(\Leftrightarrow25x^2+18\left(2004-m\right)x+9\left(2004-m\right)^2-5184=0\)( 3 )
Hệ PT có nghiệm khi PT ( 3 ) có nghiệm
\(\Rightarrow\Delta'=\left[9\left(2004-m\right)\right]^2-25\left[9\left(2004-m\right)^2-5184\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2004-m\right)^2\le900\Leftrightarrow-30\le2004-m\le30\)
\(\Leftrightarrow1974\le m\le2034\)
từ đó tìm được GTNN của P là 1974 khi \(x=\frac{-54}{5};y=\frac{96}{5}\)
GTLN của P là 2034 khi \(x=\frac{54}{5};y=\frac{-96}{5}\)