Violympic toán 9

HC

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=2,1/a+1/b+1/c=1/2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba số a,b,c là số 2.

NL
3 tháng 11 2019 lúc 0:00

Giả sử các biểu thức đều xác định

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab+bc+ca+c^2}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=2\\a=2\\b=2\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
GH
Xem chi tiết
TT
Xem chi tiết
TB
Xem chi tiết
PP
Xem chi tiết
TU
Xem chi tiết
CL
Xem chi tiết
BB
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết