Question

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 2 và a+b+c=4

Tìm GTNN P=\(\log_2abc\)

Answer 1

Do \(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge1\\a+b+c=4>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow abc>1\)

\(\Rightarrow P=log_2abc\) đồng biến theo \(abc\Rightarrow P_{min}\) khi \(Q=abc\) đạt min

Đặt \(\left(a-1;b-1;c-1\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le x;y;z\le1\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

\(Q=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=1+xyz+x+y+z+xy+yz+zx\)

\(Q=2+xyz+xy+yz+zx\ge2+xy+yz+zx\ge2\)

\(\Rightarrow Q_{min}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị

\(\Rightarrow P_{min}=log_22=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị