Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 1$
a)
\(A=\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}-\frac{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{x-1}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)
\(=\frac{x+2+x-1-x-\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{x-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)
b)
Khi $x=9+\sqrt{80}=9+4\sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^2$
$\Rightarrow \sqrt{x}=2+\sqrt{5}$
$\Rightarrow A=\frac{2+\sqrt{5}}{9+4\sqrt{5}+2+\sqrt{5}+1}=\frac{-1+2\sqrt{5}}{19}$
c)
Để $A=\frac{1}{3\sqrt{x}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{1}{3\sqrt{x}}$
$\Leftrightarrow 3x=x+\sqrt{x}+1$
$\Leftrightarrow 2x-\sqrt{x}-1=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)(2\sqrt{x}+1)=0(*)$
Vì $x\neq 1; 2\sqrt{x}+1>0$ nên không tồn tại $x$ thỏa mãn $(*)$, tức là không tồn tại $x$ thỏa mãn ycđb
d)
$A-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{3}=\frac{-(x-2\sqrt{x}+1)}{3(x+\sqrt{x}+1)}$
$=\frac{-(\sqrt{x}-1)^2}{3(x+\sqrt{x}+1)}< 0$ với mọi $x\geq 0; x\neq 1$
Do đó: $A< \frac{1}{3}$ (đpcm)