Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức quen thuộc sau:(a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge9\)
Thật vậy : áp dụng bđt cô si ta có :a+b+c\(\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
nhân vế theo vế ta được (a+b+c)(\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\))\(\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi:a=b=c
Áp dụng vào bài toán ta có:\(\dfrac{p}{p-a}+\dfrac{p}{p-b}+\dfrac{p}{p-c}=p\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\)
=\([\left(p-a\right)+\left(p-b\right)+\left(p-c\right)]\left(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi :p-a=p-b=p-c
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy với a,b,c là độ dai 3 cạnh của 1 tam giác và chu vi bằng 2p thì \(\dfrac{p}{p-a}+\dfrac{p}{p-b}+\dfrac{p}{p-c}\ge9\)