Question

cho A=\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}..............\frac{2n-1}{2n}\)

Chứng minh A<\(\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\)

Answer 1

Lời giải:

Bài toán cần bổ sung điều kiện $n\in\mathbb{N}>1$

Quy nạp.

Với $n=2,3$ thì bài toán hiển nhiên đúng

.....

Giả sử bài toán đúng đến $n$. Tức là:

$A_n=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với $n+1$, tức là $A_{n+1}< \frac{1}{\sqrt{3n+4}}$

Thật vậy:

$A_{n+1}=A_n.\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}.\frac{2n+1}{2n+2}$

Giờ chỉ cần CM: $\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.\frac{2n+1}{2n+2}< \frac{1}{\sqrt{3n+4}}$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2(3n+4)< (2n+2)^2(3n+1)$

$\Leftrightarrow -n< 0$ (luôn đúng)

Vậy phép quy nạp hoàn thành. Ta có đpcm.