Question

cho a,b,c,d thuộcR . CMR

(ab+cd)² <hoặc=(a²+c²)(b²+d²)

Answer 1

Xét (a^2+c^2).(b^2+d^2)-(ab+cd)^2

 = a^2b^2+c^2b^2+a^2d^2+c^2d^2-a^2b^2-2abcd-c^2d^2

 = b^2c^2+a^2d^2-2abcd = (bc-ad)^2 >= 0 

=> (ab+cd)^2 <= (a^2+c^2).(b^2+d^2)                     ( bđt này còn được gọi là bđt bunhiacopxki )

=> đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> bc-ad=0

<=> bc = ad <=> a/b = c/d

k mk nha

Answer 2

Ta khai triển ra có (ad-bc)²>=0 (đúng với mọi abcd)

Dấu "=" xảy ra khi

ad=bc

Answer 3

Giả sử: \(\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\ge\left(ab+cd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2-a^2b^2-2abcd-c^2d^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2-2acbd+b^2d^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ac-bd\right)^2\ge0\)đúng với a;b;c;d thuộc R

BĐT này còn gọi là BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki