Question

Cho a,b,c thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm GTNN của A=\(a+b+c+\frac{1}{abc}\)

Answer 1

Lời giải:

AM-GM kết hợp với \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\)\(A=a+b+c+\frac{1}{3abc}+\frac{1}{3abc}+\frac{1}{3abc}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a+b+c}{27(abc)^3}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{1}{9(abc)^{\frac{8}{3}}}}\) $(1)$

Lại có \(1=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}\) $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra \(A\geq 4\sqrt{3}\)

Dấu $=$ xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)