Question

Cho ∆ABC ⊥ tại A (AB<AC), có Ah là đường cao. Kẻ HE ⊥ AB tại E, kẻ HF ⊥ AC tại F.

a) CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) lấy điểm M đối xứng với điểm A qua F. CM tứ giác EFMH là hình bình hành
c) Từ điểm M kẻ đường thẳng song song AH, đường thẳng này cắt tia HF tại N. CM tứ giác AHMN là hình thoi

Answer 1

 a) Do HE AB (gt)

⇒ ∠AEH = 90⁰

Do HF AC (gt)

⇒ ∠AFH = 90⁰

Do ABC vuông tại A (gt)

⇒ ∠FAE = 90⁰

Tứ giác AEHF có:

∠AFH = ∠AEH = ∠FAE = 90⁰

⇒ AEHF là hình chữ nhật

b) Do AEHF là hình chữ nhật (cmt)

⇒ AF // HE và AF = HE

⇒ FM // HE

Do M và A đối xứng nhau qua F

F là trung điểm của AM

⇒ FM = AF

Mà AF = HE (cmt)

⇒ FM = HE

Tứ giác EFMH có:

FM // HE (cmt)

FM = HE (cmt)

⇒ EFMH là hình bình hành

c) Do MN // AH (gt)

⇒ ∠NMF = ∠FAH (so le trong)

Xét hai tam giác vuông: ∆MNF và ∆AHF có:

FM = AF (cmt)

∠NMF = ∠FAH (cmt)

⇒ ∆MNF = ∆AHF (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ MN = AH (hai cạnh tương ứng)

Tứ giác AHMN có:

MN // AH (gt)

MN = AH (cmt)

⇒ AHMN là hình bình hành

Mà AM ⊥ HN (HF ⊥ AC)

⇒ AHMN là hình thoi