Cho △ABC có AB < AC. Kẻ AM là tia phân giác của góc A (M ∈ BC). Trên AC lấy điểm D sao cho AB = AD.
a) Chứng minh rằng △ABM = △ADM.
b) Gọi I là giao điểm của AM và BD. Chứng minh rằng AI ⊥ BD.
c) Kéo dài DM cắt AB tại H. Chứng minh rằng △MBH = △MDC.
d) Gọi P là trung điểm của đoạn HC. Chứng minh rằng 3 điểm A; M; P thẳng hàng.
a: Xét ΔABM và ΔADM có
AB=AD
\(\widehat{BAM}=\widehat{DAM}\)
AM chung
Do đó: ΔABM=ΔADM
b: Xét ΔABD có AB=AD
nên ΔABD cân tại A
Ta có: ΔABD cân tại A
mà AI là đường phân giác
nên AI\(\perp\)BD tại I
c: ΔABM=ΔADM
=>\(\widehat{ABM}=\widehat{ADM}\)
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{HBM}=180^0\)(hai góc kề bù)
\(\widehat{ADM}+\widehat{CDM}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{ABM}=\widehat{ADM}\)
nên \(\widehat{HBM}=\widehat{CDM}\)
ΔABM=ΔADM
=>MB=MD
Xét ΔMBH và ΔMDC có
\(\widehat{MBH}=\widehat{MDC}\)
MB=MD
\(\widehat{BMH}=\widehat{DMC}\)
Do đó: ΔMBH=ΔMDC
d: ΔMBH=ΔMC
=>BH=DC và MH=MC
AB+BH=AH
AD+DC=AC
mà AB=AD và BH=DC
nên AH=AC
=>A nằm trên đường trung trực của HC(1)
MH=MC
=>M nằm trên đường trung trực của HC(2)
PH=PC
=>P nằm trên đường trung trực của HC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,P,M thẳng hàng