Question

cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c=2022. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =\(\dfrac{ab}{c}\) +\(\dfrac{bc}{a}\) +\(\dfrac{ac}{b}\)

Answer 1

Em xem lại đề, chắc là \(Q=\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\) mới đúng đúng không?

Answer 2

Ta có:

\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}-2b=\dfrac{a^2b+bc^2-2abc}{ac}=\dfrac{b\left(a-c\right)^2}{ac}\ge0\) ; \(\forall a;b;c>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\)

Cộng vế với vế:

\(2Q\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrow Q\ge a+b+c\Rightarrow Q\ge2022\)

Vậy \(Q_{min}=2022\) khi \(a=b=c=\dfrac{2022}{3}\)