Question

cho a,b,c >0

cm: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)

Answer 1

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\)\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\)\(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)(đpcm)

Dau "=" xay ra khi a=b=c

Answer 2

Dùng Cauchy-Schwarz ngon rồi nhưng nếu bạn muốn cách nữa thì dùng AM-GM:

\(\frac{a^3}{b}+ab\geq 2\sqrt{a^4}=2a^2\). Tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)\) \((1)\)

Có BĐT quen thuộc là \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\) \((2)\)

BĐT nàyđúng vì nó tương đương \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\geq ab+bc+ac\) (đpcm)

Answer 3

còn cách nào khác ko vậy bạn?