ta có:a+b=2013\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=2013^2\)
áp dụng cô si\(\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{2013^2}{4}\)
\(P=a^3+b^3+2ab=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+2ab\)
\(P=2017^3-ab\left(3a+3b-2\right)=2017^3-6037ab\)
\(P\ge2017^3-\frac{2013^2.6037}{4}\)đến đây tự tính
Dấu "=" xảy ra khi a=b=2013/2
Min P = 2041281643 <=> x = 1007 và y = 1006 hoặc x = 1006 và y = 1007.
Max P = 8144869753 <=> x = 2012 và y = 1, hoặc x = 1 và y = 2012.
Do a, b thuộc N* và a + b = 2013
=> a # b.
Không mất tính tổng quát, giả sử a > b.
=> 2a > a + b
=> 2a > 2013, hay a > 2013/2
Lại có: a thuộc N*
=> a >= 1007
Do b thuộc N* nên b >= 1
=> 2013 - a >= 1, hay a =< 2012. Vậy 1007 =< a =< 2012.
Ta có: a + b = 2013
=> P = (a^3 + b^3) + 2ab
= (a + b)^3 – 3ab(a + b) + 2ab
= 2013^3 – 3ab.2013 + 2ab
= 2013^3 – 6037ab
= 2013^3 – 6037a(2013 - a)
= 6037a^2 – 12152481a + 8157016197.
Vậy P = 6037a^2 – 12152481a + 8157016197 với 1007 <= a <= 2012.
Ta sẽ chứng minh P đạt GTNN tại a = 1007 và đạt GTLN tại a = 2012
Tức là với 1007 <= a <= 2012 thì 2041281643 <= P <= 8144869753 (*).
Thật vậy, với 1007 <= a <= 2012
(*) <=> 6037a^2 – 12152481a + 8157016197 >= 2041281643
và 6037a^2 – 12152481a + 8157016197 <= 8144869753;
<=> 6037a^2 – 12152481a + 6115734554 >= 0
và 6037a^2 – 12152481a + 12146444 <= 0;
<=> 6037(a - 1006)(a - 1007) >= 0
và 6037(a - 1)(a - 2012) <= 0.
Cả hai bất đẳng thức này cùng đúng vì 1007 <= a <= 2012.
Tương tự với b
Vậy:
Min P = 2041281643 ó a = 1007 và b = 1006 hoặc a = 1006 và b = 1007.
Max P = 8144869753 ó a = 2012 và b = 1, hoặc a = 1 và b = 2012.