Vì b > 0 nên áp dụng bđt Cauchy ta có : \(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(b+1\right)}{2}\ge\frac{a.\left(2\sqrt{b}\right)}{2}=a\sqrt{b}\) (vì a > 0)
\(\Rightarrow a\sqrt{b}\le\frac{a\left(b+1\right)}{2}\) .
Vậy ta có đpcm
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left(a-b\right)\sqrt[3]{1-c^3}+\left(b-c\right)\sqrt[3]{1-a^3}+\left(c-a\right)\sqrt[3]{1-b^3}=0\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{\left(1-a^3\right)\left(1-b^3\right)\left(1-c^3\right)}+abc=1\)
cho biểu thức : \(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}\) với a>0 ; b>0 ; a khác b
a. CM : P=1/ab
b. giả sử a,b thay đổi sao cho \(4a+b+\sqrt{ab}=1\) . Tìm min P
Cho \(a,b\ge0;\)\(n\in N.\)Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^n\le\frac{a^n+b^n}{2}.\)
Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)với \(p=\frac{a+b+c}{2}\)
CHO a,b,c > 0 thõa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Cho hai số a , b > 0 . Chứng minh
a) \(2\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
b) \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b^3\right)\)
cho 3 số a,b,c thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{bc-a^2}+\frac{1}{ca-b^2}+\frac{1}{ab-c^2}=0\)
CMR: \(\frac{a}{\left(bc-a^2\right)^2}+\frac{b}{\left(ca-b^2\right)^2}+\frac{c}{\left(ab-c^2\right)^2}=0\)
Cho 3 số thực khác nhau và khác 0 là a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) . Chứng ming :
\(\frac{bc-a^2}{a\left(bc-1\right)}=\frac{b^2-ac}{b\left(1-ac\right)}\)
@Lê Trịnh Việt Tiến GIẢI ĐI