Question

Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6 (\(n\in N\) và \(n\ge1\)). Chứng minh rằng: a + b + c + 8 là số chính phương.

Answer 1

a + b + c + 8 = 11...1 + 11...1 + 66...6 + 8

\(\downarrow\) \(\downarrow\) \(\downarrow\)

2n số 1 n+1 số 1 n số 6

\(=\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+\frac{6\left(10^n-1\right)}{9}+8\)

\(=\frac{10^{2n}-1+10.10^n-1+6.10^n-6+72}{9}\)

\(=\frac{10^{2n}+16.10^n+64}{9}\)

\(=\left(\frac{10n+8}{3}\right)^2\)

\(=\left(\frac{10n...8}{3}\right)^2\)

\(=33...36^2\)

\(\downarrow\)

_{n-1 số 3}