H24

Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn  ab + bc + ca = 3.

CMR:  \(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{abc}\)

LM
10 tháng 12 2017 lúc 11:26

Ta có \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)\(\Rightarrow3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le3\Leftrightarrow abc\le1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}\)\(=\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{3a}\)

\(CMTT\Rightarrow\frac{1}{1+b^2\left(c+a\right)}\le\frac{1}{3b}\)

                  \(\frac{1}{1+c^2\left(a+b\right)}\le\frac{1}{3c}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{3c}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
OM
Xem chi tiết
DL
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
NQ
Xem chi tiết
NH
Xem chi tiết
QP
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết