Đặt \(A=\left(1+\frac{1}{a^3}\right)\left(1+\frac{1}{b^3}\right)\left(1+\frac{1}{c^3}\right)\)
Ta có:
\(A=1+\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)+\left(\frac{1}{a^3b^3}+\frac{1}{b^3c^3}+\frac{1}{c^3a^3}\right)+\frac{1}{a^3b^3c^3}\)
Áp dụng BĐT Côsi, ta có:
\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge\frac{3}{abc}\)
\(\frac{1}{a^3b^3}+\frac{1}{b^3c^3}+\frac{1}{c^3a^3}\ge\frac{3}{a^2b^2c^2}\)
Thay vào A, ta được \(A\ge1+\frac{3}{abc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}+\frac{1}{a^3b^3c^3}=\left(1+\frac{1}{abc}\right)^3\)
Lại áp dụng BĐT Côsi ta có:
\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\left(\frac{6}{3}\right)^3=8\)hay\(\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{8}\)
Suy ra:\(A\ge\left(1+\frac{1}{8}\right)^3=\frac{729}{512}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6\\a=b=c\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=2\)
cách khác bạn tham khảo tại đây giúp mình mấy bất đẳng thức này với? | Yahoo Hỏi & Đáp
Cô sy là chặt rồi. Bài giải của bạn đúng đấy Thắng ạ!
