Question

cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR \(\dfrac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}+\dfrac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}+\dfrac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{ac}\ge3\sqrt{3}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô-si)

\(1+a^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}\geq \frac{\sqrt{3ab}}{ab}=\frac{c\sqrt{3ab}}{abc}=c\sqrt{3ab}=\sqrt{c}.\sqrt{3abc}=\sqrt{3c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}\geq \sqrt{3a}\)

\(\frac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{ac}\geq \sqrt{3b}\)

Cộng theo vế những BĐT vừa thu được ta có:

\(\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{c^3+a^3+1}}{ac}\geq \sqrt{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)

\(\geq \sqrt{3}.3\sqrt[3]{\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}}=\sqrt{3}.3\sqrt[6]{abc}=3\sqrt{3}\) (áp dụng BĐT Cô-si)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$