\(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\left(x,y,z\ne0\right)\).
Ta có:
\(a+b+c=0\).
Ta phải chứng minh rằng nếu \(a+b+c=0\)thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Thật vậy, xét hiệu \(A=a^3+b^3+c^3-3abc\)với \(a+b+c=0\).
\(A=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3abc+c^3\).
\(A=\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]\).
\(A=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]\)\(-3ab\left(a+b+c\right)\).
\(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2-3ab\right)\).
\(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
\(A=0\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)(vì \(a+b+c=0\)).
Do đó \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\).
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)với \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)với \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)(điều phải chứng minh).