ND

Cho \(-1\le a\le1\). Tìm GTLN của b sao cho BĐT đúng \(\sqrt{1-a^4}+\left(b+1\right)\left(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1-a^2}\right)+b-4\le0\)

NL
18 tháng 2 2022 lúc 17:38

Đặt \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1-a^2}=x\Rightarrow\sqrt{2}\le x\le2\)

\(x^2=2+2\sqrt{1-a^4}\Rightarrow\sqrt{1-a^4}=\dfrac{x^2-2}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2-2}{2}+\left(b+1\right)x+b-4\le0\)

\(\Rightarrow x^2+2\left(b+1\right)x+2b-10\le0\)

\(\Rightarrow x^2+2x-10\le-2b\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow-2b\ge\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)

\(\Rightarrow-2b\ge\max\limits_{\left[\sqrt{2};2\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x-10}{x+1}\)

Xét trên \(\left[\sqrt{2};2\right]\) ta có:

\(f\left(x\right)=\dfrac{3x^2+6x-30}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{3x^2+8x-28-2\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)}=\dfrac{\left(3x+14\right)\left(x-2\right)}{3\left(x+1\right)}-\dfrac{2}{3}\le-\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow-2b\ge-\dfrac{2}{3}\Rightarrow b\le\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(b_{max}=\dfrac{1}{3}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
VM
Xem chi tiết
BC
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
DT
Xem chi tiết
NN
Xem chi tiết
VH
Xem chi tiết
TN
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết