Câu 4: Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến MA, MB (với A, B là hai tiếp điểm) và kẻ đường kính AC của đường tròn.
a) Chứng minh rằng tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Cho OM = 5 cm, tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOB (với ≈ 3,14).
c) Gọi D là giao điểm của tia CB và tia AM. Chứng minh rằng MBD = MDB.
Câu 5: Cho ∆ABC có các góc A, B, C đều nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Các đường cao AI và BK của ∆ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng BK kéo dài cắt đường tròn (O) tại D và cắt đường thẳng d tại E
a. Chứng minh ABIK, HKCI là các tứ giác nội tiếp.
b. Chứngminh: AE² = BE.DE Làm ơn giúp mik vs ạ . Mik đag cần gấp 😭
Câu 4:
a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
c: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại B
=>AB\(\perp\)CD tại B
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
Ta có: \(\widehat{MAB}+\widehat{MDB}=90^0\)(ΔABD vuông tại B)
\(\widehat{MBA}+\widehat{MBD}=\widehat{ABD}=90^0\)
mà \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)
nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)
Câu 5:
a: Xét tứ giác ABIK có \(\widehat{AKB}=\widehat{AIB}=90^0\)
nên ABIK là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác HKCI có \(\widehat{HKC}+\widehat{HIC}=90^0+90^0=180^0\)
nên HKCI là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\widehat{EAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến EA và dây cung AD
\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD
Do đó: \(\widehat{EAD}=\widehat{ABD}\)
Xét ΔEAD và ΔEBA có
\(\widehat{EAD}=\widehat{EBA}\)
\(\widehat{AED}\) chung
Do đó: ΔEAD~ΔEBA
=>\(\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{ED}{EA}\)
=>\(EA^2=ED\cdot EB\)
Câu 4:
a) Theo định lí về góc tiếp tuyến và dây cung, ta có: ∠MAB = ∠MCB và ∠MBA = ∠MCA.
Do đó, ∠MAB + ∠MBA = ∠MCB + ∠MCA = 180°.
Vậy tứ giác MAOB nội tiếp.
b) Độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOB:
Ta có:
\(OM=R+OA=2R\) (vì OA là bán kính của đường tròn)
Do đó, \(R=\dfrac{OM}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5cm\)
Vậy, độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAOB là:
\(2\pi R=2\cdot3,14\cdot2,5=15,7cm\)
c) Ta có: ∠MBA = ∠MCA (do tứ giác MAOB nội tiếp)
Và ∠MCB = ∠MAB (do tứ giác MAOB nội tiếp)
Do đó, ∠MBD = ∠MBA + ∠MCB = ∠MCA + ∠MAB = ∠MDB.
Vậy, ∠MBD = ∠MDB.
Câu 5:
a) Ta có: ∠BAI = ∠BKI (do cùng chắp cung BK)
Và ∠ABI = ∠AKI (do cùng chắp cung AI)
Do đó, ∠BAI + ∠ABI = ∠BKI + ∠AKI = 180°.
Vậy, tứ giác ABIK nội tiếp.
Tương tự, ta cũng có tứ giác HKCI nội tiếp.
b) Ta có: ∠BAE = ∠BDE (do cùng chắp cung BD)
Và ∠ABE = ∠DBE (do cùng chắp cung BE)
Do đó, ∆ABE ~ ∆DBE (theo định lí tam giác đồng dạng)
Từ đó, ta có:
\(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{BE}{DE}\)
Vậy, \(AE^2=BE\cdot DE\)