Question

Câu 31: Trong không gian (Oxyz), cho mặt cầu (S) có phương trình: \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2=25\). Mặt phẳng (P): ax+by+z+3=0(a,b là các số nguyên) đi qua A(-1;1;-2) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là \(19\Omega\). Khi đó, a+b bằng bao nhiêu?

 

Answer 1

Gọi `(S)` có tâm `I(1;-2;3)`, bán kính `R=5`

        `(P) nn (S)` là đường tròn `(O; R')`

Theo đề bài ta có: `R'=\sqrt{19}`

`=>d(I,(P))=\sqrt{5^2 - 19}=\sqrt{6}=[|a-2b+3+3|]/\sqrt{a^2+b^2+1}`

                      `=>6a^2+6b^2+6=a^2+4b^2+36-4ab+12a-24b`

                    `<=>5a^2+2b^2+4ab-12a+24b-30=0`    `(1)`

Ta có `A in (P)=>-a+b-2+3=0<=>b=a-1`    `(2)`

Từ `(1);(2)=>5a^2+2(a-1)^2+4a(a-1)-12a+24(a-1)-30=0`

      `<=>11a^2+4a-52=0<=>[(a=2),(a=-26/11):}`

  Mà `a in ZZ`

  `=>a=2`

  `=>b=1`

Vậy `a+b=3`.