Question

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc ACB cắt AB tại D.Vẽ DE
vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh: △ACD = △ECD.
b) Gọi F là giao điểm của DE và AC.Chứng minh: BE=AF.
c) Chứng minh: CD ⊥ AE.
d) Chứng minh: EA // BF.

Answer 1

a) Xét △ACD và △ECD có:

DAC = DEC (= 90^o)

CD: chung

ACD = ECD (CD: phân giác ECA)

\(\Rightarrow\)△ACD = △ECD (ch-gn) (*)

b) Xét △EDB và △FDA có:

BED = AFD (= 90^o)

DE = DA (từ *)

BDE = ADF (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)△EDB = △FDA (cgv-gn)

\(\Rightarrow\)BE = AF (2 cạnh tương ứng)

c) Gọi CD ∩ AE = { I }

Từ (*) ta có: CA = CA \(\Rightarrow\)△ECA cân tại

Mà CI là phân giác ECA của △ECA suy ra cũng đồng thời là đường cao △ cân ECA

\(\Rightarrow\)CD ⊥ AE

d) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}CE+BE=CB\\CA+AF=CF\end{matrix}\right.\) mà \(\left\{{}\begin{matrix}CE=CA\\BE=AF\end{matrix}\right.\Rightarrow CB=CF\)

Khi đó, △CBF cân tại C

\(\Rightarrow\)CBF = (180^o - BCF) : 2 (1)

Có: △CEA cân tại C

\(\Rightarrow\)CEA = (180^o - ECA) : 2 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)CBF = CEA

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow\)EA // BF