a.
\(\Delta=m^2-4\left(2m-7\right)=\left(m-4\right)^2+12>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m-7\end{matrix}\right.\)
Do \(x_2\) là nghiệm \(\Rightarrow x_2^2+mx_2+2m-7=0\Rightarrow x_2^2=-mx_2-2m+7\)
Thế vào \(9x_1=x_2^2\Rightarrow x_1=\dfrac{-mx_2-2m+7}{9}\)
Thế vào \(x_1+x_2=-m\Rightarrow\dfrac{-mx_2-2m+7}{9}+x_2=-m\)
\(\Rightarrow\left(9-m\right)x_2=-7m-7\) (\(m\ne9\))
\(\Rightarrow x_2=\dfrac{7m+7}{m-9}\)
\(\Rightarrow x_1=-m-x_2=-m-\dfrac{7m+7}{m-9}=\dfrac{-m^2+2m-7}{m-9}\)
Thế vào \(x_1x_2=2m-7\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{-m^2+2m-7}{m-9}\right)\left(\dfrac{7m+7}{m-9}\right)=2m-7\)
\(\Rightarrow9m^3-50m^2+323m-518=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(9m^2-32m+259\right)=0\)
\(\Rightarrow m=2\)
b.
Pt (1) có nghiệm hữu tỉ khi và chỉ khi \(\Delta\) là số chính phương
Khi m là số nguyên lẻ, đặt \(m=2n+1\) với n nguyên
\(\Rightarrow\Delta=\left(m-4\right)^2+12=\left(2n-3\right)^2+12\)
Giả sử pt đã cho có nghiệm hữu tỉ
\(\Rightarrow\) Tồn tại k nguyên sao cho: \(\left(2n-3\right)^2+12=k^2\)
\(\Rightarrow k^2-\left(2n-3\right)^2=12\)
\(\Rightarrow\left(k+2n-3\right)\left(k-2n+3\right)=12\)
Do \(\left(k+2n-3\right)+\left(k-2n+3\right)=2k\) luôn chẵn nên \(k+2n-3\) và \(k-2n+3\) luôn cùng tính chẵn lẻ
Do đó ta chỉ cần xét các cặp ước có cùng tính chẵn lẻ của 12
Bảng giá trị:
| k+2n-3 | -6 | -2 | 2 | 6 |
| k-2n+3 | -2 | -6 | 6 | 2 |
| k | -4 | -4 | 4 | 4 |
| n | 1/2 | 5/2 | 1/2 | 5/2 |
Từ bảng ta thấy ko tồn tại n nguyên thỏa mãn
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m nguyên lẻ để pt đã cho có nghiệm hữu tỉ