Question

CẦN GẤP

Cho 2 số x, y thỏa mãn   \(x+y=26\)

Tìm GTNN của biểu thức \(P=x^3+y^3+26xy\)

Answer 1

Ta có:

\(P=x^3+y^3+26xy\)

Vì: x + y = 26

\(P=x^3+y^3+\left(x+y\right)xy\)

\(P=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(x+y\right)xy\)

\(P=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(P=26\left(x^2+y^2\right)\)

Mà \(x^2+y^2\ge0\left(\forall x,y\inℝ\right)\)

=> x^2 + y^2 đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y = 13

Vậy MinP = 26(13^2 + 13^2) = 8788

Answer 2

\(P=x^3+y^3+26xy\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+26xy\)

\(=26\left(x^2-xy+y^2\right)+26xy\)

\(=26\left(x^2+y^2\right)\)

Lại có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{26^2}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge26.\frac{26^2}{2}=8788\)

Dấu = xảy ra khi x=y=13