Question

các bạn giúp mk với

Gpt : \(x^2+x-17=\sqrt{\left(x^2-15\right)\left(x-3\right)}+\sqrt{x^2-15}+\sqrt{x-3}\)

Answer 1

Đk:\(x\ge\sqrt{15}\)

Đặt \(\sqrt{x^2-15}=a;\sqrt{x-3}=b\left(a,b>0\right)\)

Thì \(a^2+b^2=x^2+x-18\) khi đó

\(pt\Leftrightarrow a^2+b^2+1=ab+a+b\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\\b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\\a^2+1\ge2\sqrt{a^2}=2a\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế rồi thu gọn 3 BĐT trên ta có:

\(VT=a^2+b^2+1\ge ab+a+b=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2ab\\b^2+1=2b\\a^2+1=2a\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-15}=1\\\sqrt{x-3}=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-15=1\\x-3=1\end{matrix}\right.\Rightarrow x=4\left(x\ge\sqrt{15}\right)\)