\(x^3-\left(4m-1\right)x^2+4\left(1-m\right)x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(x^2-4mx+4\right)=0\)
Để pt có 3 nghiệm phân biệt thì (\(x^2-4mx+4\)) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1\ne\\x_2\ne1\end{matrix}\right.1}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\ne\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\\m\ne\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(x^3-\left(4m-1\right)x^2+4\left(1-m\right)x+4=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+x^2-4mx^2+4\left(1-m\right)x+4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\left(-4mx+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-4mx+4\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2-4mx+4=0\end{matrix}\right.\)
Để pt \(x^3-\left(4m-1\right)x^2+4\left(1-m\right)x+4=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì \(x2-4mx+4=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
\(x2-4mx+4=0\)
\(\Delta'=m^2-4\)
Để pt \(x2-4mx+4=0\) có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'\ge0\Rightarrow m^2-4\ge0\Leftrightarrow2\ge m\ge-2\)
Vậy \(2\ge m\ge-2\) thì pt\(x^3-\left(4m-1\right)x^2+4\left(1-m\right)x+4=0\)có 3 nghiệm phân biệt .
