Lời giải:
\(A(1,2); C(3,5)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=(2,3)\)
\(\Rightarrow \) vector pháp tuyến của đường thẳng $AC$ là $(-3,2)$
Khi đó ta viết được pt đường thẳng $AC$: \(-3x+2y+k=0\)
Thay giá trị $x=1,y=2$ (ứng với điểm $A$) vào pt trên suy ra $k=-1$
Vậy PTĐT $AC$: \(-3x+2y-1=0\)
Đường tròn tâm $B$ tiếp xúc với $AC$
\(\Leftrightarrow R_B=d(B,AC)\)
Mà \(d(B,AC)=\frac{|-3.x_B+2.y_B-1|}{\sqrt{(-3)^2+2^2}}=\sqrt{13}\) nên \(R_B=\sqrt{13}\)
Vậy PTĐTr tâm $B$ tiếp xúc với $AC$ là:
\((x-2)^2+(y+3)^2=R_B^2=13\)
b)
\(\overrightarrow{AB}=(1,-5)\); \(\overrightarrow{AC}=(2,3)\)
\(\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=\frac{|1.2+(-5).3|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}.\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \angle (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi}{4}\)