Bài tập: Cho \(\Delta ABC\) có AB =20 cm, AC = 25 cm, BC = 30 cm. Đường phân giác trong của \(\widehat{A}\) cắt cạnh BC tại D. Qua B kẻ BH vuông góc với AD (\(H\in AD\)), qua C kẻ CK vuông góc với AD (\(K\in AD\)).
a) Chứng minh \(\Delta ABH\) đồng dạng với \(\Delta ACK\)
b) Chứng minh AH.KD = AK.HD
c) Tính BD và DC
d) Đường phân giác của \(\widehat{B}\) cắt AC tại E và đường phân giác của \(\widehat{C}\) cắt AB tại F. Chứng minh \(\dfrac{DB}{DC}\times\dfrac{EC}{EA}\times\dfrac{FA}{FB}=1\)
Giúp nk với ạ, please
a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có
\(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)(AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔACK(g-g)
c) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)
nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)(Tính chất tia phân giác của tam giác)
hay \(\dfrac{BD}{20}=\dfrac{CD}{25}\)
mà BD+CD=BC=30cm(D nằm giữa B và C)
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{BD}{20}=\dfrac{CD}{25}=\dfrac{BD+CD}{20+25}=\dfrac{30}{45}=\dfrac{2}{3}\)
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BD}{20}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{CD}{25}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{40}{3}\left(cm\right)\\CD=\dfrac{50}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(BD=\dfrac{40}{3}cm;CD=\dfrac{50}{3}cm\)