ΔOBM cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH\(\perp\)AB và OH là phân giác của \(\widehat{MOB}\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM\(\perp\)MB
AM\(\perp\)MB
OH\(\perp\)MB
Do đó: AM//OH
AM//OH
NI\(\perp\)AM tại N
Do đó: NI\(\perp\)OH
mà H\(\in\)OI
nên NI\(\perp\)OI tại I
Xét (O) có
OI là bán kính
NI\(\perp\)OI tại I
Do đó: NI là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔOBD và ΔOMD có
OB=OM
\(\widehat{BOD}=\widehat{MOD}\)
OD chung
Do đó: ΔOBD=ΔOMD
=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OMD}=90^0\)
=>DM là tiếp tuyến của (O)
Để chứng minh NI và DM là các tiếp tuyến của (O), ta cần chứng minh rằng góc NIO và góc DMO bằng 90 độ.
Ta có:
- Vì H là trung điểm của BM, nên OH song song với AB và cắt AB ở trung điểm H. Do đó, OH là đường cao của tam giác OAB.
- Vì OH là đường cao của tam giác OAB, nên góc OHA bằng 90 độ.
- Vì I là điểm trên đường tròn (O) và OH cắt (O) tại I, nên góc OIA bằng 90 độ.
- Vì góc OHA và góc OIA bằng 90 độ, nên các điểm O, H, I, A cùng thuộc một đường tròn đường kính OA.
Do đó, ta có:
- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
- Góc NIA là góc nội tiếp của đường tròn (O) và cắt cung OA, nên góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
Từ đó, ta có:
- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
- Góc NIA bằng một nửa góc tương ứng của cung OA.
Vậy, ta có góc NIA bằng góc NIA, tức là góc NIA bằng góc NIA.
Tương tự, ta có thể chứng minh góc DMO bằng 90 độ.
Do đó, ta kết luận rằng NI và DM là các tiếp tuyến của (O).