Question

Bài 7: Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh a + 2 b + c ≥ 4(1 – a)(1 – b)(1 – c)

Answer 1

Đặt A=4(1-x)(1-y)(1-z)

Chứng minh BĐT phụ: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(Tự chứng minh)

Áp dụng BĐT thức trên, ta có:

\(A=4\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)

\(=4\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\)

\(\le4.\frac{\left(x+2y+z\right)^2}{4}.\left(x+z\right)\)

\(\Leftrightarrow A\le\left(x+2y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{\left(x+2y+x+z\right)^2}{4}\left(x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4}\left(x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow A\le x+2y+z\)(  do x+y+z=1)

Vậy....