Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD . Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và AD, O là giao điểm của AC và BD. ( vẽ hình giúp em với ạ )
1, Cm tứ giác AMCN là hình bình hành
2, Cm 3 điểm M,O,N thẳng hàng
Bài 11 : Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM.Gọi I là trung điểm của AC, K là trung điểm của AB. ( vẽ hình giúp em với ạ )
1, Cm tứ giác BKIC là hình thang cân
2, Lấy N là điểm đối xứng với M qua I . Tứ giác AMCN là hình gì ? Vì sao ?
3, Cm 3 đg thẳng AM,BN,IK cùng đi qua 1 điểm
Bài 14 : Cho tam giác ABC nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác . M là trung điểm của BC. Gọi D là điểm đối xứng của H qua M. ( vẽ hình giúp em với ạ )
a,Cm : tứ giác BHCD là hình bình hành.
b,Cm : Tam giác ABD vuông tại B , tam giác ACD vuông tại C
c, Gọi I là trung điểm của AD. Cm : IA = IB = IC = ID
Bài `6`
`1.` Xét `\Delta ABM` và `\Delta CDM,` ta có:
`AB=CD(` Cạnh đối của hình bình hành `)`
`BM = MC(` Vì `M` là trung điểm của `BC)`
`AM=CN(` Vì `M,N` là trung điểm của `BC,AD)`
`->\Delta ABM = \Delta CDM (c.c.c)`
Vì: Ttứ giác `AMCN` có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
`-> AMCN` là hình bình hành
`2.` Vì `O` là giao điểm của `AC` và `BD`
`-> O` là trung điểm của `AC` và `BD(` Tính chất `)`
Vì: `M` và `N` là trung điểm của `BC` và `AD` nên: `OM = ON`
`=>` Ba điểm: `M,O,N` thẳng hàng theo đường trung bình của hình bình hành.
Bài 11:
1: Xét ΔABC có
K,I lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>KI là đường trung bình của ΔABC
=>KI//BC
Xét tứ giác BKIC có KI//BC và \(\widehat{KBC}=\widehat{ICB}\)
nên BKIC là hình thang cân
2: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM\(\perp\)BC tại M
Xét tứ giác AMCN có
I là trung điểm chung của AC và MN
=>AMCN là hình bình hành
Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCN là hình chữ nhật
3: Ta có: AMCN là hình chữ nhật
=>AN//CM và AN=CM
AN//CM nên AN//MB
AN=CM
mà CM=MB
nên AN=MB
Xét ΔABC có
M,K lần lượt là trung điểm của BC,BA
=>MK là đường trung bình của ΔABC
=>MK//AC và \(MK=\dfrac{AC}{2}=AI\)
Xét tứ giác AKMI có
KM//AI
KM=AI
Do đó: AKMI là hình bình hành
=>AM cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(1)
Xét tứ giác ANMB có
AN//MB
AN=MB
Do đó: ANMB là hình bình hành
=>AM cắt NB tại trung điểm của mỗi đường(2)
Từ (1),(2) suy ra AM,BN,KI đồng quy
Bài 14:
a: Xét tứ giác BHCD có
M là trung điểm chung của BC và HD
=>BHCD là hình bình hành
b: BHCD là hình bình hành
=>BH//CD và BD//CH
Ta có: BD//CH
CH\(\perp\)AB
Do đó: BD\(\perp\)BA
=>ΔBAD vuông tại B
ta có: BH//CD
BH\(\perp\)AC
Do đó: CD\(\perp\)CA
=>ΔCAD vuông tại C
c: ΔBAD vuông tại B
mà BI là đường trung tuyến
nên IB=IA=ID(1)
Ta có: ΔCAD vuông tại C
mà CI là đường trung tuyến
nên IC=IA=ID(2)
Từ (1),(2) suy ra IB=IA=ID=IC